En el álgebra matricial iterativa, necesitamos un marco matemático riguroso para cuantificar el "tamaño" de vectores y matrices. Estas métricas nos permiten determinar si una aproximación se está acercando a la solución verdadera. Las normas de vectores y matrices mapean arreglos de alta dimensión a números reales no negativos, manteniendo propiedades algebraicas específicas que limitan los errores y garantizan la convergencia.
La Fundamentación Axiomática de las Normas
Definición 7.1: Norma de Vector
Una norma de vector $\|\cdot\|$ en $\mathbb{R}^n$ debe satisfacer cuatro criterios:
- No negatividad: $\|\mathbf{x}\| \geq 0$
- Definición: $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x} = \mathbf{0}$
- Homogeneidad Absoluta: $\|\alpha \mathbf{x}\| = |\alpha| \|\mathbf{x}\|$
- Desigualdad Triangular: $\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$
Métricas Principales: $l_2$ y $l_\infty$
Según Definición 7.2, las normas más críticas para el análisis numérico son:
- Norma Euclidiana ($l_2$): $\|\mathbf{x}\|_2 = \{ \sum_{i=1}^n x_i^2 \}^{1/2}$. Geométricamente, la distancia más corta desde el origen.
- Norma Máxima ($l_\infty$): $\|\mathbf{x}\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$. Captura la magnitud del componente más grande.
Estas definiciones nos permiten definir la distancia entre una solución exacta $\mathbf{x}$ y una aproximación $\mathbf{y}$ como $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$ (Definición 7.4).
Normas de Matrices y Amplificación Inducida
Una norma de matriz añade una quinta propiedad "submultiplicativa" (Definición 7.8): $\|A B\| \leq \|A\|\|B\|$.
Teorema 7.11: La Suma Máxima de Filas
Para una matriz $n \times n$ $A$, la norma natural $l_\infty$ se calcula como el máximo de las sumas absolutas de filas:
$$\|A\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$$
Ejemplo Resuelto: Cálculo de Vectores y Matrices
Considere $\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$ y $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
Normas de Vectores
$\|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|-1|, |1|, |-2|) = 2$.$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \approx 2.449$.
Norma $l_\infty$ de la Matriz
Fila 1: $|1|+|2|+|-1|=4$Fila 2: $|0|+|3|+|-1|=4$
Fila 3: $|5|+|-1|+|1|=7$
Resultado: $\|A\|_\infty = 7$.
🎯 Principio Fundamental
Aunque la forma específica de la magnitud cambia entre normas, Teorema 7.7 garantiza la equivalencia: la convergencia en la norma $l_\infty$ implica convergencia en la norma $l_2$ y viceversa.
$\|\mathbf{x}\|_\infty \leq \|\mathbf{x}\|_2 \leq \sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty$